等周定理：一个爱情悲剧里的数学问题 _小知识

平面上的等周问题长短常古老的问题，在维吉尔的史诗《埃涅阿斯纪》中就呈现了等周问题的影子。等周定理简单归纳综合就是，在平面上给定长度的简单闭曲线中，圆周所围的面积最大。圆这一谜底看似天然而合理，但要严酷地证实却并不轻易，汗青上研究该问题的数学家层出不穷，今天我们就开启一趟数学摸索之旅，体味这些分歧气概的证实方式。
撰文 | 杨帆（重庆大学数学与统计学院）
一、闻名歌剧里的数学问题
平面上的等周问题是微分几何的根基问题之一，研究汗青悠长，若要完整的讲述此中的故事，我们不妨从亨利·普赛尔（Henry Purcell, 1659-1695）最闻名的歌剧《狄朵与埃涅阿斯》（Dido and Aeneas）聊起。这部歌剧取材于维吉尔（Virgil）的史诗《埃涅阿斯纪》（Aeneid），演绎了迦太基（Carthagia）女王狄朵和特洛伊英雄埃涅阿斯的恋爱悲剧，歌剧中女巫姐妹为了粉碎他们的恋爱，棍骗埃涅阿斯分开迦太基去完当作一项任务，狄朵误觉得他变节了本身，于是自焚身故。
最终，他们呈现在你面前，
可以看到新迦太基建起的塔楼；
在那边买下一块地盘，名叫比尔萨。
——《埃涅阿斯纪》

歌剧《狄朵与埃涅阿斯》宣传图
狄朵与埃涅阿斯的相遇其实并不浪漫，她平生偃蹇困穷，在此之前因丈夫被暗算而被迫逃离故土，她一路逃亡来到海说神聊非海岸，并设法在此假寓，为采办地盘与本地人履历了一番讨价还价，最终获得的承诺是她只能据有一块牛皮包住的地盘，于是聪慧的狄朵将牛皮切当作尽可能多的细条，将细条相连当作线从而围住了大片地盘。在这里我们看到了等周问题的影子——在给定的周长内围住尽可能多的地盘面积，遗憾的是这位潜在的女数学家选择将生命献给恋爱，最终这个数学问题仍是由古希腊数学家给大致解决了。
何为等周定理？即平面上定长的简单闭曲线中圆周所围的面积最大，其对偶定理与之等价，即平面上面积相等的几何图形中圆的周长最小。设D是长度为L的平面简单闭曲线，由若尔当曲线定理（即在欧式平面上，肆意一条简单闭曲线D可把平面分当作两个部门，使得统一部门的肆意两点可用不与D订交的弧相连），曲线D可围当作面积为A的有限区域，用不等式暗示为

，当且仅当D为圆周时等号当作立。戳https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzUxNzQyMjU5NQ==&mid=2247487348&idx=2&sn=8fb5653af38e4a7d29501773ce508292&chksm=f9992418ceeead0e7209d3f8921d8d1cd65b98a6540520fdc7be41e8dffcf620fd027e0fc17d&token=1854233942&lang=zh_CN#rd可不雅看等周问题的番笕泡尝试的视频
谜底看似有理，究竟结果圆是一个如斯神奇的外形，但严酷地证实并不轻易，汗青上先后有很多数学家都研究过该问题，但直到19宿世纪，才由德国数学家魏尔斯特拉斯（Weierstrass，1815-1897）初次给出了一个严谨的数学证实（拜见参考文献4）。接下来，我们就来领会几个分歧期间有代表性的证实方式。
二、斯坦纳的证实
在正式证实之前，我们要明白等周定理的解必然是凸几何。所谓凸几何，即在某一图形内取肆意两点连当作线段，若线段上所有的点都在图形内，则该图形为凸几何，反之为非凸几何。

17宿世纪以来，一批数学家们致力于在解决几何问题时尽量少的运用代数运算，而追求更具普适性的方式，雅各布·斯坦纳（Jakob Steiner，1769-1863）就是此中一位代表性人物。他在合当作几何方面的研究较为权势巨子，他认为计较故障了思虑，而纯粹的几何学则刺激了缔造性思维，在他所给出的五种对等周定理的证实中，这一立场也有所表现，我们先来领略此中两种方式的出色之处。

等周定理：一个爱情悲剧里的数学问题

猜你喜欢