等周定理：一个爱情悲剧里的数学问题( 二 ) _小知识

Jakob Steiner，1769-1863
01四搭钮证实法（Four-hinge Proof）
与之前的做法近似，起首用一条直线将定长前提下面积最大的图形分为周长相等的两部门，此时面积也被等分，要证实等周定理，只要证实图形等分后的两部门为半圆。

考虑上半部门曲线 D1 围当作的图形A1，运用反证法，假设A1不是半圆。将D1与朋分线的交点记为B与C，由直角三角形的斜边中线定理可知，半圆的内接三角形为直角三角形，而A1不是半圆，则D1上存在一点A，与点B、C相连使得∠A不是直角。接着，移动三角形底边的端点 B、C，并连结BA、CA的长度不变，使∠A变为直角，这时，连结暗影部门面积不变，而三角形△ABC面积增添，从而A1的面积也增添，而曲线 D1 的长度未变，是以在周长不变的环境下获得了面积更大的图形，与假设矛盾，是以上半部门为半圆，从而圆就是面积最大的图形。
02平均鸿沟证实法（Mean-boundray Proof）
起首来介绍一下平均鸿沟的概念，可以将它理解为两条给定曲线的中线，从垂直偏向看，作一向线与三条曲线别离交于A、B、C，则线段AB与线段BC等长。而且稍作计较可以发现，平均鸿沟的长度不大于两条给定曲线长度的平均值，只有当两条曲线一样时才能取等号。

平均鸿沟

斯坦纳等一众数学家的尽力让公共相信，离开了代数与阐发的数学仿照照旧是壮大的兵器，但我们同时又会如斯真切地感触感染到几何与方程碰撞发生的奇奥成果。因为下文会用到面积公式，不妨先用几何的方式来推导一下。

三、后斯坦纳时代
此后，存在性的问题一向无人能解，直到1879年魏尔斯特拉斯在一次讲座中证实领会的存在性，从而使等周问题拥有了第一个严谨的证实。完整地证实解的存在性长短常坚苦的，连魏尔斯特拉斯本身都感伤：“这个问题其实是太难了，以至于它被认为几乎不克不及被完当作。 ”是以本文对此就不进行深切的介绍了。
在证实领会的存在性的后斯坦纳时代，数学家们对等周问题的研究似乎多了些底气，下面介绍了两种分歧的证实方式，我们不妨体味一下分歧气概的证实之美。
01变分法证实

Jakob Bernoulli (1654-1705) 和 Johann Bernoulli (1667-1748)
变分法最先由约翰·伯努利（Johann Bernoulli）于1696年提出，开初是为领会决物理中的最速降线问题，雅克布·伯努利（Jakob Bernoulli）知道后也起头潜心研究，这个问题同时也吸引了欧拉、牛顿等数学家的注重，在一众数学家的配合尽力下，变分法的研究不竭取得冲破。值得一提的是这伯努利两兄弟的关系，哥哥雅各布平生仓促五十载，而此中的三十年都用在了和弟弟进行学术争论上，在我们后人看来，恰是他们对科学不竭的切磋争执，才促进了科学的成长与前进。
等周问题很是简练，所给的前提只有定长这一个，若把面积最大理解为求极值，那么用变分法处置就显得很是天然。变分法的焦点思惟是找到一个函数y(t)，求得与之相关的泛函

等周定理：一个爱情悲剧里的数学问题( 二 )

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