曲面弯曲的内蕴性最早被“数学王子”高斯注意到 ， 后为黎曼所发展 ， 并推广到大于3的n维流形 。 因而 ， 黎曼几何是一种内蕴几何 。 换言之 ， 内蕴性指的是曲面（或曲线）不依赖于它在三维空间中嵌入方式的某些性质 。 也就是说 ， 它是曲面某些内在的、本质的几何属性 。 高斯用高斯曲率——两个主曲率的乘积 ， 来表征曲面的这种属性（图3a） 。 如果一个曲面的高斯曲率为0 ， 说明它本质上是平的 ， 是可展曲面 ， 如图3b所示 。 如果一个曲面的高斯曲率不为0 ， 说明它本质上是不平的 ， 是不可展曲面 ， 如图3c所示 。
高斯曲率不为0的情形又有两种 。 正的高斯曲率对应于球面几何（图3c的下图） ， 负的高斯曲率对应于马鞍面（图3c的上图） 。 马鞍面上的几何就是前面所介绍的罗巴切夫斯基几何 ， 又被称为双曲几何 。

爬虫的几何
可是 ， 又该如何判定我们所面对的是哪一种几何呢？最简单的办法是测量曲面上一个三角形三个内角之和E=A+B+C 。 平面几何的E=180o ， 球面几何E>180o ， 双曲几何E<180o 。
一个观察者在自己生活的物理空间中所能够观察和测量到的几何性质 ， 就是这个空间的内蕴性质 。 比如说 ， 球面的内蕴性质 ， 就是生活在球面上的2维爬虫感受到的几何性质 。 我们人类当然是3维的生物 ， 不是什么2维爬虫 。 但是 ， 因为我们的地球很大 ， 我们的3维尺寸比起地球来说是很小的 。 因此 ， 我们可以将自己设想为某种2维生物 。 比如 ， 我们在地球上测量一个大三角形 ， 就如图3b下中的球面三角形ABC ， 测地员将会发现 ， 这个三角形的三个内角都是90度 ， 因此 ， 内角和E=270o ， 大于180度 。
图3b下所显示的是一个规则球面 ， 它的空间弯曲程度到处都是一样的 ， 但一般来说 ， 空间的弯曲程度不一定处处相同 ， 数学家们用“平行移动”的概念来研究空间的弯曲程度 。
什么是平行移动？简单地说 ， 就是将一个矢量平行于自身的方向沿着空间里的一条曲线移动 。 像汽车上的陀螺仪那样 ， 汽车沿公路运动时 ， 陀螺仪总是平行于自己原来的指向 。
在物理上 ， 让大家更感兴趣的问题是：一个矢量平行移动一圈后再回到原来出发点的时候是否会有所改变？比如说 ， 跟着汽车转了一圈的陀螺仪 ， 指的方向是否还和原来出发时的方向一样？也许你不加思索就会给出答案：当然没有什么改变 。 但这是因为你习惯了用欧氏空间的直角坐标系来思考问题 ， 从而轻易得出这个结论 。 如果我们假设地面是一个欧几里德平面 ， 陀螺仪平行移动回到原处时 ， 方向的确不会改变 。 但是 ， 每个人都知道 ， 地球是一个球体 ， 所以我们实际上是生活在一个球面上 。 那么 ， 如果从球面（或者别的曲面）的角度来研究这个问题 ， 又会得出什么样的结论呢？
所谓“平行移动”的意思是说 ， 在移动矢量的时候 ， 尽可能保持矢量方向相对于自身没有旋转 。 好比一个女孩平行地前进、后退、左右移动 ， 只要她的身体没有扭动 ， 就叫平行移动 。 这样 ， 当她移动一周回到出发点的时候 ， 她认为她应该和原来出发时面对着同样的方向 。 如果她是在平面上移动的话 ， 她的这个想法是正确的 。 但是 ， 假如她是在球面上移动的话 ， 她将发现自己面朝的方向可能不一样了！出发时她的脸朝左 ， 回来时却是脸朝前 ， 如图4b 。
假如将女孩面对的方向用一个箭头（矢量）来表示 。 图4a所示的是一个矢量在莫比乌斯带上的平行移动 ， 当矢量从位置1出发 ， 沿着数字1、2、3……一直移动到10 ， 也就是回到原来的出发位置时 ， 得到的矢量和原来的反向 。 图4b中所示是球面上的平行移动 ， 当矢量从位置1出发 ， 沿着数字1、2、3……一直移动到7 ， 也就是回到原来的出发位置时 ， 得到的矢量和原来的矢量垂直 。

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